Диагонали трапеции. Прямоугольная и равнобедренная трапеция: свойства и признаки Сформулируйте определение трапеции
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
С такой формой как трапеция, мы встречаемся в жизни довольно часто. К примеру, любой мост который выполнен из бетонных блоков, является ярким примером. Более наглядным вариантом можно считать рулевое управление каждого транспортного средства и прочее. О свойствах фигуры было известно еще в Древней Греции
, которую более детально описал Аристотель в своем научном труде «Начала». И знания, выведенные тысячи лет назад актуальны и по сегодня. Поэтому ознакомимся с ними более детально.
Вконтакте
Основные понятия
Рисунок 1. Классическая форма трапеции.
Трапеция по своей сути является четырехугольником, состоящим из двух отрезков которые параллельны, и двух других, которые не параллельны. Говоря об этой фигуре всегда необходимо помнить о таких понятиях как: основания, высота и средняя линия. Два отрезка четырехугольника которые друг другу называются основаниями (отрезки AD и BC). Высотой называют отрезок перпендикулярный каждому из оснований (EH), т.е. пересекаются под углом 90° (как это показано на рис.1).
Если сложить все градусные меры внутренних , то сумма углов трапеции будет равна 2π (360°), как и у любого четырехугольника. Отрезок, концы которого являются серединами боковин (IF) именуют средней линей.
Длина этого отрезка составляет сумму оснований BC и AD деленную на 2.
Существует три вида геометрической фигуры: прямая, обычная и равнобокая. Если хоть один угол при вершинах основания будет прямой (например, если ABD=90°), то такой четырехугольник называют прямой трапецией. Если боковые отрезки равны (AB и CD), то она называется равнобедренной (соответственно углы при основаниях равны).
Как найти площадь
Для того, чтобы найти площадь четырехугольника ABCD пользуются следующей формулой:
Рисунок 2. Решение задачи на поиск площади
Для более наглядного примера решим легкую задачу. К примеру, пускай верхнее и нижнее основания равны по 16 и 44 см соответственно, а боковые стороны – 17 и 25 см. Построим перпендикулярный отрезок из вершины D таким образом, чтобы DE II BC (как это изображено на рисунке 2). Отсюда получаем, что
Пускай DF – будет . Из ΔADE (который будет равнобоким), получим следующее:
Т.е., выражаясь простым языком, мы вначале нашли высоту ΔADE, которая по совместительству является и высотой трапеции. Отсюда вычислим по уже известной формуле площадь четырехугольника ABCD, с уже известным значением высоты DF.
Отсюда, искомая площадь ABCD равна 450 см³. То есть можно с уверенностью сказать, что для того, чтобы вычислить площадь трапеции потребуется только сумма оснований и длина высоты.
Важно! При решении задача не обязательно найти значение длин по отдельности, вполне допускается, если будут применены и другие параметры фигуры, которые при соответствующем доказательстве будут равны сумме оснований.
Виды трапеций
В зависимости от того, какие стороны имеет фигура, какие углы образованы при основаниях, выделяют три вида четырехугольника: прямоугольная, разнобокая и равнобокая.
Разнобокая
Существует две формы: остроугольная и тупоугольная . ABCD остроугольна только в том случае, когда углы при основании (AD) острые, а длины сторон разные. Если величина одного угла число Пи/2 более (градусная мера более 90°), то получим тупоугольную.
Если боковины по длине равны
Рисунок 3. Вид равнобокой трапеции
Если непараллельные стороны равны по длине, тогда ABCD называется равнобокой (правильной). При этом у такого четырехугольника градусная мера углов при основании одинакова, их угол будет всегда меньше прямого. Именно по этой причине равнобедренная никогда не делится на остроугольные и тупоугольные. Четырехугольник такой формы имеет свои специфические отличия, к числу которых относят:
- Отрезки соединяющие противоположные вершины равны.
- Острые углы при большем основании составляют 45° (наглядный пример на рисунке 3).
- Если сложить градусные меры противоположных углов, то в сумме они будут давать 180°.
- Вокруг любой правильной трапеции можно построить .
- Если сложить градусную меру противоположных углов, то она равна π.
Более того, в силу своего геометрического расположения точек существуют основные свойства равнобедренной трапеции :
Значение угла при основании 90°
Перпендикулярность боковой стороны основания — емкая характеристика понятия «прямоугольная трапеция». Двух боковых сторон с углами при основании быть не может, потому как в противном случае это будет уже прямоугольник. В четырехугольниках такого типа вторая боковая сторона всегда будет образовывать острый угол с большим основанием, а с меньшим — тупой. При этом, перпендикулярная сторона также будет являться и высотой.
Отрезок между серединами боковин
Если соединить середины боковых сторон, и полученный отрезок будет параллельный основаниям, и равен по длине половине их суммы, то образованная прямая будет средней линией. Значение этого расстояния вычисляется по формуле:
Для более наглядного примера рассмотрим задачу с применением средней линии.
Задача. Средняя линия трапеции равна 7 см, известно, что одна из сторон больше другой на 4 см (рис.4). Найти длины оснований.
Рисунок 4. Решение задачи на поиск длин оснований
Решение. Пусть меньшее основание DC будет равно x см, тогда большее основание будет равняться соответственно (x+4) см. Отсюда, используя формулу средней линии трапеции получим:
Получается, что меньшее основание DC равно 5 см, а большее равняется 9 см.
Важно! Понятие средней линии является ключевым при решении многих задач по геометрии. На основании её определения, строятся многие доказательства для других фигур. Используя понятие на практике, возможно более рациональное решение и поиск необходимой величины.
Определение высоты, и способы как её найти
Как уже отмечалось ранее, высота представляет собой отрезок, который пересекает основания под углом 2Пи/4 и является кратчайшим расстоянием между ними. Перед тем как найти высоту трапеции, следует определиться какие даны входные значения. Для лучшего понимания рассмотрим задачу. Найти высоту трапеции при условии, что основания равны 8 и 28 см, боковые стороны 12 и 16 см соответственно.
Рисунок 5. Решение задачи на поиск высоты трапеции
Проведем отрезки DF и CH под прямыми углами к основанию AD.Согласно определению, каждый из них будет являться высотой заданной трапеции (рис.5). В таком случае, зная длину каждой боковины, при помощи теоремы Пифагора, найдем чему равна высота в треугольниках AFD и BHC.
Сумма отрезков AF и HB равна разности оснований, т.е.:
Пускай длина AF будет равняться x cм, тогда длина отрезка HB= (20 – x)см. Как было установлено, DF=CH , отсюда .
Тогда получим следующее уравнение:
Получается, что отрезок AF в треугольнике AFD равен 7,2 см, отсюда вычислим по той же теореме Пифагора высоту трапеции DF:
Т.е. высота трапеции ADCB будет равна 9,6 см. Как можно убедиться, что вычисление высоты — процесс больше механический, и основывается на вычислениях сторон и углов треугольников. Но, в ряде задач по геометрии, могут быть известны только градусы углов, в таком случае вычисления будут производиться через соотношение сторон внутренних треугольников.
Важно! В сущности трапецию часто рассматривают как два треугольника, или как комбинацию прямоугольника и треугольника. Для решения 90% всех задач, встречаемых в школьных учебниках, свойства и признаки этих фигур. Большинство формул, для этого ГМТ, выведены полагаясь на «механизмы» для указанных двух типов фигур.
Как быстро вычислить длину основания
Перед тем, как найти основание трапеции необходимо определить какие параметры уже даны, и как их рационально использовать. Практическим подходом является извлечение длины неизвестного основания из формулы средней линии. Для более ясного восприятия картинки покажем на примере задачи, как это можно сделать. Пускай известно, что средняя линия трапеции составляет 7 см, а одно из оснований 10 см. Найти длину второй основы.
Решение: Зная, что средняя линия равна половине суммы основ, можно утверждать, что их сумма равна 14 см.
(14 см = 7 см × 2). Из условия задачи, мы знаем, что одно из равно 10 см, отсюда меньшая сторона трапеции будет равна 4 см (4 см = 14 – 10).
Более того, для более комфортного решения задач подобного плана, рекомендуем хорошо выучить такие формулы из области трапеции как :
- средняя линия;
- площадь;
- высота;
- диагонали.
Зная суть (именно суть) этих вычислений можно без особого труда узнать искомое значение.
Видео: трапеция и ее свойства
Видео: особенности трапеции
Вывод
Из рассмотренных примеров задач можно сделать нехитрый вывод, что трапеция, в плане вычисления задач, является одной из простейших фигур геометрии. Для успешного решения задач прежде всего не стоит определиться с тем, какая информация известна об описываем объекте, в каких формулах их можно применить, и определиться с тем, что требуется найти. Выполняя этот простой алгоритм, ни одна задача с применением этой геометрической фигуры не составит усилий.
Трапеция - это частный случай четырехугольника, у которого одна пара сторон является параллельной. Термин «трапеция» произошел от греческого слова τράπεζα, означающего "стол", "столик". В этой статье мы рассмотрим виды трапеции и её свойства. Кроме того, разберемся, как рассчитывать отдельные элементы этой Например, диагональ равнобокой трапеции, среднюю линию, площадь и др. Материал изложен в стиле элементарной популярной геометрии, т. е. в легкодоступной форме.
Общие сведения
Для начала давайте разберемся, что такое четырехугольник. Данная фигура является частным случаем многоугольника, содержащего четыре стороны и четыре вершины. Две вершины четырехугольника, которые не являются соседними, называются противоположными. То же можно сказать и о двух несмежных сторонах. Основные виды четырехугольников - это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и дельтоид.
Итак, вернемся к трапециям. Как мы уже говорили, у этой фигуры две стороны являются параллельными. Их называют основаниями. Две другие (непараллельные) - боковые стороны. В материалах экзаменов и различных контрольных работ очень часто можно встретить задачи, связанные с трапециями, решение которых зачастую требует от учащегося знаний, не предусмотренных программой. Школьный курс геометрии знакомит учеников со свойствами углов и диагоналей, а также средней линии равнобедренной трапеции. Но ведь, помимо этого, упомянутая геометрическая фигура имеет и другие особенности. Но о них чуть позже...
Виды трапеции
Существует много видов данной фигуры. Однако чаще всего принято рассматривать два из них - равнобедренную и прямоугольную.
1. Прямоугольная трапеция - это фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. У нее два угла всегда равны девяноста градусам.
2. Равнобедренная трапеция - это геометрическая фигура, у которой боковые стороны равны между собой. А значит, и углы у оснований также попарно равны.
Главные принципы методики изучения свойств трапеции
К основному принципу можно отнести использование так называемого задачного подхода. По сути, нет необходимости для ввода в теоретический курс геометрии новых свойств этой фигуры. Их можно открывать и формулировать в процессе решения различных задач (лучше системных). При этом очень важно, чтобы преподаватель знал, какие задания необходимо поставить перед школьниками в тот или иной момент учебного процесса. Более того, каждое свойство трапеции может быть представлено в виде ключевой задачи в системе задач.
Вторым принципом является так называемая спиральная организация изучения «замечательных» свойств трапеции. Это подразумевает возврат в процессе обучения к отдельным признакам данной геометрической фигуры. Таким образом, учащимся легче их запоминать. Например, свойство четырех точек. Его можно доказывать как при изучении подобия, так и впоследствии с помощью векторов. А равновеликость треугольников, прилегающих к боковым сторонам фигуры, можно доказывать, применяя не только свойства треугольников с равными высотами, проведенными к сторонам, которые лежат на одной прямой, но и с помощью формулы S= 1/2(ab*sinα). Кроме того, можно отработать на вписанной трапеции или прямоугольный треугольник на описанной трапеции и т. д.
Применение «внепрограммных» особенностей геометрической фигуры в содержании школьного курса - это задачная технология их преподавания. Постоянное обращение к изучаемым свойствам при прохождении других тем позволяет учащимся глубже познавать трапецию и обеспечивает успешность решения поставленных задач. Итак, приступим к изучению этой замечательной фигуры.
Элементы и свойства равнобедренной трапеции
Как мы уже отмечали, у данной геометрической фигуры боковые стороны равны. Еще она известна как правильная трапеция. А чем же она так примечательна и почему получила такое название? К особенностям данной фигуры относится то, у нее равны не только боковые стороны и углы у оснований, но и диагонали. Кроме того, сумма углов равнобедренной трапеции равна 360 градусам. Но и это еще не все! Из всех известных трапеций только вокруг равнобедренной можно описать окружность. Это связано с тем, что сумма противоположных углов у этой фигуры равна 180 градусам, а только при таком условии можно описать окружность вокруг четырехугольника. Следующим свойством рассматриваемой геометрической фигуры является то, что расстояние от вершины основания до проекции противолежащей вершины на прямую, которая содержит это основание, будет равно средней линии.
А теперь давайте разберемся, как найти углы равнобедренной трапеции. Рассмотрим вариант решения этой задачи при условии, что известны размеры сторон фигуры.
Решение
Обычно четырехугольник принято обозначать литерами А, Б, С, Д, где БС и АД - это основания. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Будем считать, что их размер равен Х, а размеры оснований равны Y и Z (меньшего и большего соответственно). Для проведения вычисления необходимо из угла В провести высоту Н. В результате получился прямоугольный треугольник АБН, где АБ - гипотенуза, а БН и АН - катеты. Вычисляем размер катета АН: от большего основания отнимаем меньшее, и результат делим на 2. Запишем в виде формулы: (Z-Y)/2 = F. Теперь для вычисления острого угла треугольника воспользуемся функцией cos. Получаем следующую запись: cos(β) = Х/F. Теперь вычисляем угол: β=arcos (Х/F). Далее, зная один угол, мы можем определить и второй, для этого производим элементарное арифметическое действие: 180 - β. Все углы определены.
Существует и второе решение данной задачи. В начале опускаем из угла В высоту Н. Вычисляем значение катета БН. Нам известно, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Получаем: БН = √(Х2- F2). Далее используем тригонометрическую функцию tg. В результате имеем: β = arctg (БН/ F). Острый угол найден. Далее определяем аналогично первому способу.
Свойство диагоналей равнобедренной трапеции
Сначала запишем четыре правила. Если диагонали в равнобедренной трапеции перпендикулярны, то:
Высота фигуры будет равна сумме оснований, деленной на два;
Ее высота и средняя линия равны;
Центр окружности является точкой, в которой пересекаются ;
Если боковая сторона делится точкой касания на отрезки Н и М, тогда равен квадратному корню произведения этих отрезков;
Четырехугольник, который образовался точками касания, вершиной трапеции и центром вписанной окружности - это квадрат, у которого сторона равна радиусу;
Площадь фигуры равна произведению оснований и произведению полусуммы оснований на ее высоту.
Подобные трапеции
Данная тема весьма удобна для изучения свойств этой Например, диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника, причем прилежащие к основаниям являются подобными, а к боковым сторонам - равновеликими. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями. Первая часть этого утверждения доказывается через признак подобия по двум углам. Для доказательства второй части лучше воспользоваться способом, приведенным ниже.
Доказательство теоремы
Принимаем, что фигура АБСД (АД и БС - основы трапеции) разбивается диагоналями ВД и АС. Точка их пересечения - О. Получаем четыре треугольника: АОС - у нижнего основания, БОС - у верхнего основания, АБО и СОД у боковых сторон. Треугольники СОД и БОС имеют общую высоту в том случае, если отрезки БО и ОД являются их основаниями. Получаем, что разность их площадей (П) равна разности этих отрезков: ПБОС/ПСОД = БО/ОД = К. Следовательно, ПСОД = ПБОС/К. Аналогично, треугольники БОС и АОБ имеют общую высоту. Принимаем за их основания отрезки СО и ОА. Получаем ПБОС/ПАОБ = СО/ОА = К и ПАОБ = ПБОС/К. Из этого следует, что ПСОД = ПАОБ.
Для закрепления материала учащимся рекомендуется найти связь между площадями полученных треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями, решив следующую задачу. Известно, что у треугольников БОС и АОД площади равны, необходимо найти площадь трапеции. Так как ПСОД = ПАОБ, значит, ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*ПСОД. Из подобия треугольников БОС и АОД следует, что БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Следовательно, ПБОС/ПСОД = БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Получаем ПСОД = √(ПБОС*ПАОД). Тогда ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*√(ПБОС*ПАОД) = (√ПБОС+√ПАОД)2.
Свойства подобия
Продолжая развивать эту тему, можно доказывать и другие интересные особенности трапеций. Так, с помощью подобия можно доказать свойство отрезка, который проходит через точку, образованную пересечением диагоналей этой геометрической фигуры, параллельно основаниям. Для этого решим следующую задачу: необходимо найти длину отрезка РК, который проходит через точку О. Из подобия треугольников АОД и БОС следует, что АО/ОС=АД/БС. Из подобия треугольников АОР и АСБ следует, что АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=БС*АД/(БС+АД). Аналогично из подобия треугольников ДОК и ДБС следует, что ОК=БС*АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=ОК и РК=2*БС*АД/(БС+АД). Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей, параллельный основаниям и соединяющий две боковые стороны, делится точкой пересечения пополам. Его длина - это среднее гармоническое оснований фигуры.
Рассмотрим следующее качество трапеции, которое называют свойством четырех точек. Точки пересечения диагоналей (О), пересечения продолжения боковых сторон (Е), а также середины оснований (Т и Ж) всегда лежат на одной линии. Это легко доказывается методом подобия. Полученные треугольники БЕС и АЕД подобны, и в каждом из них медианы ЕТ и ЕЖ делят угол при вершине Е на равные части. Следовательно, точки Е, Т и Ж лежат на одной прямой. Точно так же на одной прямой располагаются точки Т, О, и Ж. Все это следует из подобия треугольников БОС и АОД. Отсюда делаем вывод, что все четыре точки - Е, Т, О и Ж - будут лежать на одной прямой.
Используя подобные трапеции, можно предложить учащимся найти длину отрезка (ЛФ), который разбивает фигуру на две подобные. Данный отрезок должен быть параллелен основаниям. Так как полученные трапеции АЛФД и ЛБСФ подобны, то БС/ЛФ=ЛФ/АД. Отсюда следует, что ЛФ=√(БС*АД). Получаем, что отрезок, разбивающий трапецию на две подобные, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований фигуры.
Рассмотрим следующее свойство подобия. В его основе лежит отрезок, который делит трапецию на две равновеликие фигуры. Принимаем, что трапеция АБСД разделена отрезком ЕН на две подобные. Из вершины Б опущена высота, которая разбивается отрезком ЕН на две части - В1 и В2. Получаем: ПАБСД/2 = (БС+ЕН)*В1/2 = (АД+ЕН)*В2/2 и ПАБСД = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Далее составляем систему, первое уравнение которой (БС+ЕН)*В1 = (АД+ЕН)*В2 и второе (БС+ЕН)*В1 = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Отсюда следует, что В2/ В1 = (БС+ЕН)/(АД+ЕН) и БС+ЕН = ((БС+АД)/2)*(1+В2/ В1). Получаем, что длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна среднему квадратичному длин оснований: √((БС2+АД2)/2).
Выводы подобия
Таким образом, мы доказали, что:
1. Отрезок, соединяющий у трапеции середины боковых сторон, параллелен АД и БС и равен среднему арифметическому БС и АД (длина основания трапеции).
2. Черта, проходящая через точку О пересечения диагоналей параллельно АД и БС, будет равна среднему гармоническому чисел АД и БС (2*БС*АД/(БС+АД)).
3. Отрезок, разбивающий трапецию на подобные, имеет длину среднего геометрического оснований БС и АД.
4. Элемент, делящий фигуру на две равновеликие, имеет длину среднего квадратичного чисел АД и БС.
Для закрепления материала и осознания связи между рассмотренными отрезками учащемуся необходимо построить их для конкретной трапеции. Он без труда сможет отобразить среднюю линию и отрезок, который проходит через точку О - пересечение диагоналей фигуры - параллельно основаниям. А вот где будут находиться третий и четвертый? Этот ответ приведет учащегося к открытию искомой связи между средними величинами.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции
Рассмотрим следующее свойство этой фигуры. Принимаем, что отрезок МН параллелен основаниям и делит диагонали пополам. Точки пересечения назовем Ш и Щ. Данный отрезок будет равен полуразности оснований. Разберем это более детально. МШ - средняя линия треугольника АБС, она равна БС/2. МЩ - средняя линия треугольника АБД, она равна АД/2. Тогда получаем, что ШЩ = МЩ-МШ, следовательно, ШЩ = АД/2-БС/2 = (АД+ВС)/2.
Центр тяжести
Давайте рассмотрим, каким образом определяется этот элемент для данной геометрической фигуры. Для этого необходимо продлить основания в противоположные стороны. Что это значит? Нужно к верхнему основанию прибавить нижнее - в любую из сторон, например, вправо. А нижнее продлеваем на длину верхнего влево. Далее соединяем их диагональю. Точка пересечения этого отрезка со средней линией фигуры и есть центр тяжести трапеции.
Вписанные и описанные трапеции
Давайте перечислим особенности таких фигур:
1. Трапеция может быть вписана в окружность тольков том случае, если она равнобедренная.
2. Около окружности можно описать трапецию, при условии, что сумма длин их оснований равна сумме длин боковых сторон.
Следствия вписанной окружности:
1. Высота описанной трапеции всегда равна двум радиусам.
2. Боковая сторона описанной трапеции наблюдается из центра окружности под прямым углом.
Первое следствие очевидно, а для доказательства второго требуется установить, что угол СОД является прямым, что, по сути, также не составит большого труда. Зато знание данного свойства позволит при решении задач применять прямоугольный треугольник.
Теперь конкретизируем эти следствия для равнобедренной трапеции, которая вписана в окружность. Получаем, что высота является средним геометрическим оснований фигуры: Н=2R=√(БС*АД). Отрабатывая основной прием решения задач для трапеций (принцип проведения двух высот), учащийся должен решить следующее задание. Принимаем, что БТ - высота равнобедренной фигуры АБСД. Необходимо найти отрезки АТ и ТД. Применяя формулу, описанную выше, это будет сделать не сложно.
Теперь давайте разберемся, как определить радиус окружности, используя площадь описанной трапеции. Опускаем из вершины Б высоту на основание АД. Так как окружность вписана в трапецию, то БС+АД = 2АБ или АБ = (БС+АД)/2. Из треугольника АБН находим sinα = БН/АБ = 2*БН/(БС+АД). ПАБСД = (БС+АД)*БН/2, БН=2R. Получаем ПАБСД = (БС+АД)*R, отсюда следует, что R = ПАБСД/(БС+АД).
Все формулы средней линии трапеции
Теперь пора перейти к последнему элементу данной геометрической фигуры. Разберемся, чему равна средняя линия трапеции (М):
1. Через основания: М = (А+Б)/2.
2. Через высоту, основание и углы:
М = А-Н*(ctgα+ctgβ)/2;
М = Б+Н*(ctgα+ctgβ)/2.
3. Через высоту, диагонали и угол между ними. К примеру, Д1 и Д2 - диагонали трапеции; α , β - углы между ними:
М = Д1*Д2*sinα/2Н = Д1*Д2*sinβ/2Н.
4. Через площадь и высоту: М = П/Н.
В материалах различных контрольных работ и экзаменов очень часто встречаются задачи на трапецию , решение которых требует знания ее свойств.
Выясним, какими же интересными и полезными для решения задач свойствами обладает трапеция.
После изучения свойства средней линии трапеции можно сформулировать и доказать свойство отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции . Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
MO – средняя линия треугольника ABC и равна 1/2ВС (рис. 1).
MQ – средняя линия треугольника ABD и равна 1/2АD.
Тогда OQ = MQ – MO, следовательно, OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).
При решении многих задач на трапецию одним из основных приемов является проведение в ней двух высот.
Рассмотрим следующую задачу .
Пусть BT – высота равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD, причем BC = a, AD = b. Найти длины отрезков AT и TD.
Решение.
Решение задачи не вызывает затруднения (рис. 2) , но оно позволяет получить свойство высоты равнобедренной трапеции, проведенной из вершины тупого угла : высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший – полусумме оснований.
При изучении свойств трапеции нужно обратить внимание на такое свойство, как подобие. Так, например, диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые разбивается трапеция ее диагоналями . Причем первая часть утверждения доказывается очень легко через признак подобия треугольников по двум углам. Докажем вторую часть утверждения.
Треугольники BOC и COD имеют общую высоту (рис. 3) , если принять за их основания отрезки BO и OD. Тогда S BOC /S COD = BO/OD = k. Следовательно, S COD = 1/k · S BOC .
Аналогично, треугольники BOC и АОВ имеют общую высоту, если принять за их основания отрезки CO и OA. Тогда S BOC /S AOB = CO/OA = k и S А O В = 1/k · S BOC .
Из этих двух предложений следует, что S COD = S А O В.
Не будем останавливаться на сформулированном утверждении, а найдем связь между площадями треугольников, на которые разбивается трапеция ее диагоналями . Для этого решим следующую задачу.
Пусть точка O – точка пересечения диагоналей трапеции АBCD с основаниями BC и AD. Известно, что площади треугольников BOC и AOD равны соответственно S 1 и S 2 . Найти площадь трапеции.
Так как S COD = S А O В, то S АВС D = S 1 + S 2 + 2S COD .
Из подобия треугольников BОC и AOD следует, что ВО/OD = √(S₁/S 2).
Следовательно, S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), а значит S COD = √(S 1 · S 2).
Тогда S АВС D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2 .
С использованием подобия доказывается и свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям .
Рассмотрим задачу :
Пусть точка O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD с основаниями BC и AD. BC = a, AD = b. Найти длину отрезка PK, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям. На какие отрезки делится PK точкой О (рис. 4)?
Из подобия треугольников AOD и BOC следует, что АO/OС = AD/BC = b/a.
Из подобия треугольников AOР и ACB следует, что АO/AС = PO/BC = b/(a + b).
Отсюда PO = BC · b / (a + b) = ab/(a + b).
Аналогично, из подобия треугольников DOK и DBC, следует, что OK = ab/(a + b).
Отсюда PO = OK и PK = 2ab/(a + b).
Итак, доказанное свойство можно сформулировать так: отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований трапеции.
Следующее свойство четырех точек : в трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжения боковых сторон, середины оснований трапеции лежат на одной линии.
Треугольники BSC и ASD подобны (рис. 5) и в каждом из них медианы ST и SG делят угол при вершине S на одинаковые части. Следовательно, точки S, T и G лежат на одной прямой.
Точно так же на одной прямой расположены точки T, O и G. Это следует из подобия треугольников BOC и AOD.
Значит, все четыре точки S, T, O и G лежат на одной прямой.
Так же можно найти длину отрезка разбивающего трапецию на две подобных.
Если трапеции ALFD и LBCF подобны (рис. 6), то a/LF = LF/b.
Отсюда LF = √(ab).
Таким образом, отрезок разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину равную среднему геометрическому длин оснований
.
Докажем свойство отрезка, делящего трапецию на две равновеликие .
Пусть площадь трапеции равна S (рис. 7). h 1 и h 2 – части высоты, а х – длина искомого отрезка.
Тогда S/2 = h 1 · (a + x)/2 = h 2 · (b + x)/2 и
S = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.
Составим систему
{h 1 · (a + x) = h 2 · (b + x)
{h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.
Решая данную систему, получим х = √(1/2(а 2 + b 2)).
Таким образом, длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна√((а 2 + b 2)/2) (среднему квадратичному длин оснований).
Итак, для трапеции ABCD с основаниями AD и BC (BC = a, AD = b) доказали, что отрезок:
1) MN, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям и равен их полусумме (среднему арифметическому чисел a и b);
2) PK, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям, равен
2ab/(a + b) (среднему гармоническому чисел a и b);
3) LF, разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину равную среднему геометрическому чисел a и b, √(ab);
4) EH, делящий трапецию на две равновеликие, имеет длину √((а 2 + b 2)/2) (среднее квадратичное чисел a и b).
Признак и свойство вписанной и описанной трапеции.
Свойство вписанной трапеции: трапеция может быть вписана в окружность в том и только в том случае, когда она равнобедренная.
Свойства описанной трапеции. Около окружности можно описать трапецию тогда и только тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.
Полезные следствия того, что в трапецию вписана окружность:
1. Высота описанной трапеции равна двум радиусам вписанной окружности.
2. Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под прямым углом.
Первое очевидно. Для доказательства второго следствия необходимо установить, что угол COD прямой, что так же не составляет большого труда. Зато знание этого следствия позволяет при решении задач использовать прямоугольный треугольник.
Конкретизируем следствия для равнобедренной описанной трапеции :
Высота равнобедренной описанной трапеции есть среднее геометрическое оснований трапеции
h = 2r = √(ab).
Рассмотренные свойства позволят более глубоко познать трапецию и обеспечат успешность в решении задач на применение ее свойств.
Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на трапецию?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
